ज्यामितिमा एउटा सिधा रेखा कोर्नका लागि दुईवटा बिन्दुहरु आवश्यक पर्दछ। अर्थात दुईवटा भिन्न बिन्दुहरूले एउटा सिधा रेखा निर्धारण गर्दछ। यस्ता सिधा रेखाहरु फरक फरक झूकावका हुन्छन। जस्तै \(0^\circ \) वा \(60^\circ \) वा \(90^\circ \)।
with slope \(60^\circ\)
with slope \(90^\circ\)
Figure: Different slopes of straight lines
line
line segment
ray
Figure: Parts of a line
दुईवटा बिन्दुहरू A र B ले बनाएको लाई AB ले जनाईन्छ। यस्ता रेखाहरुलाई अक्षरहरू \(l, m, n\) आदिले पनि जनाईन्छ। यस्ता रेखाहरुलाई रेखाको दुबै दिशातर्फ जति पनि लम्ब्याउन वा तन्काउन सकिन्छ।
अन्त्य भएको दुईवटा बिन्दुहरूले बनाएको रेखाको भाग (वा अंश) लाई रेखा-खण्ड भनिन्छ । बिन्दु A र B ले बनाएको रेखा-खण्ड लाई AB ले जनाईन्छ।
एउटा मात्र अन्त्य बिन्दु भएको रेखाको भागलाई किरण भनिन्छ। किरण AB लाई \( \overrightarrow{AB} \) ले जनाईन्छ।
यदि तीन वा बढी बिन्दुहरू एउटै रेखामा छन् भने तिनीहरूलाई समरेखीय बिन्दु (collinear points) भनिन्छ; अन्यथा त्यस्ता तीन वा बढी बिन्दुहरूलाई असमरेखीय बिन्दु (non-collinear points) भनिन्छ।
\(A,B,C\) are collinear points
\(A,B,C\) are non-collinear points
Figure: Collinear and non-collinear points
Intersecting, parallel, and perpendicular lines
दुईवटा भिन्न रेखाहरू कोर्नुहोस्। दुईवटा रेखाहरूलाई तिनवटा फरक फरक तरिकामा कोर्न सकिन्छ, तलको चित्रमा देखाए जस्तै।
intersecting
parallel
perpendicular
Figure: Types of lines
प्रतिच्छेदित रेखाहरु (Intersecting lines)
दुईवटा सिधा रेखाहरू कुनै एउटा साझा बिन्दुमा काटिन्छ, त्यस्ता सिधा रेखाहरूलाई प्रतिच्छेदित रेखाहरु (Intersecting lines) भनिन्छ।
समानान्तर रेखाहरु (parallel lines)
दुईवटा सिधा रेखाहरूलाई जति लम्ब्याएपनि एउटै बिन्दुमा काटिदैनन् भने त्यस्ता सिधा रेखाहरूलाई समानान्तर रेखाहरु (parallel lines) भनिन्छ। समानान्तर रेखाहरूको बीचको दुरी (लम्ब दूरी) बराबर हुन्छ।
लम्ब रेखाहरु (perpendicular lines)
दुईवटा सिधा रेखाहरू एक आपसमा लम्ब हुने गरि एउटा बिन्दुमा काटिन्छन भने त्यस्ता सिधा रेखाहरूलाई लम्ब रेखाहरु (perpendicular lines) भनिन्छ।
Angle
जब दुईवटा सिधा रेखाहरू एक आपसमा काटिन्छन, तब यस काटिएको विन्दुलाई शिर्षबिन्दु भनिन्छ। र ति दुई रेखाहरूबीचको खाली स्थानलाई कोण भनिन्छ। कोणहरू डिग्री मा मापन गरिन्छ, र तिनीहरूलाई जनाउनको लागि \(^\circ\) र \(\measuredangle\) चिन्हको प्रयोग हुन्छ। कोणको आकारले ति दुई रेखाहरू कति झुकावमा छन भन्ने कुरा जनाउदछ।
\(\measuredangle AOB\)
\(\measuredangle AOB\)
\(\measuredangle AOB\)
Figure: Different angles
समतल सतहका किनाराहरू बीच पनि विभिन्न प्रकारका कोणहरू बनेका हुन्छन। रेखाहरू समानान्तर हुँदा वा प्रतिच्छेदित हुँदा कोणहरूबीचको सम्बन्ध पनि फरक फरक हुन्छ।
type of angles
जब दुई रेखाहरू एक-आपसमा काटिन्छन्, त्यस अवस्थामा बन्ने केही कोणहरू यसप्रकार छन।
Vertically opposite angle (शिर्षाभिमुख कोण)
काटिएको बिन्दुमा तर विपरीत दिशामा बनेका कोणहरू शिर्षाभिमुख कोण हुन्।
The angles formed at the point of intersection but in opposite directions are vertically opposite angles.
Vertically opposite angles are equal.
Angle in a linear pair (समपुरक कोण)
काटिएको बिन्दुमा सँगसँगै सिधा रेखा हुनेगरि बनेका आसन्न कोणहरू समपुरक कोण हुन्।
An "angle in a linear pair" refers to two adjacent angles, creating a straight line.
The sum of angles in a linear pair is \(180^\circ\)
Supplementary angle (समपुरक कोण)
काटिएको बिन्दुमा सँगसँगै सिधा रेखा हुनेगरि बनेका कोणहरू समपुरक कोण हुन्।
The angles formed at the point of intersection, adjacent to each other and creating a straight line, are supplementary angles.
Complementary angle (परिपुरक कोण)
काटिएको बिन्दुमा सँगसँगै लम्ब रेखा हुनेगरि बनेका कोणहरू परिपुरक कोण हुन्।
The angles formed at the point of intersection, adjacent to each other and creating a perpendicular line, are complementary angles.
Figure: Angles at intersecting lines
Example: Vertically opposite angle
Based on the figure given below, complete the table given below.
(a) two lines are intersected
(b) two lines are intersected
Figure: Angles at intersecting lines
Figure No.
\(\measuredangle AOC\)
\(\measuredangle BOD\)
Remarks
(a)
(b)
Conclusion:
types of angle
जब दुई वटा समानान्तर रेखाहरूलाई तेस्रो रेखा(छेदक) ले काट्छ, त्यस अवस्थामा उत्पन्न हुने केही कोणहरू यसप्रकार छन।
When two parallel lines are intersected by a transversal, some of the resulting angles are as follows
Figure: Two parallel lines are intersected by a transversal EF
Alternate angle (एकान्तर कोण)
बाहिरी एकान्तर कोण (Exterior Alternate Angles)
समानान्तर रेखाहरूको बाहिरपट्टि, तेस्रो रेखाको दुबै पट्टि बनेको कोणहरू, जस्तै माथिल्लो रेखाको एउटा बाहिरी कोण र तल्लो रेखाको विपरित पक्षको बाहिरी कोण बाहिरी एकान्तर कोण हुन्छन्।
भित्री एकान्तर कोण (Interior Alternate Angles)
समानान्तर रेखाहरूको भित्रपट्टि, तेस्रो रेखाको दुबै पट्टि बनेको कोणहरू, जस्तै माथिल्लो रेखाको एउटा भित्री कोण र तल्लो रेखाको विपरित पक्षको भित्री कोण भित्री एकान्तर कोण हुन्छन्।
Corresponding angle (संगती कोण)
समानान्तर रेखाहरूको एकैपट्टि, र समान स्थानमा रहेका कोणहरू, जस्तै माथिल्लो रेखाको एउटा कोण र तल्लो रेखाको सोही पक्षको कोण संगती कोण हुन्छन्।
Co-interior angle (क्रमागत भित्रि कोण)
समानान्तर रेखाहरूको एकैपट्टि, र भित्री भागमा रहेका कोणहरू, जस्तै माथिल्लो रेखाको एउटा भित्रि कोण र तल्लो रेखाको सोही पक्षको भित्रि कोण क्रमागत भित्रि कोण हुन्छन्।यि कोणहरू समानान्तर रेखाहरूको भित्रपट्टी हुन्छन्।
Co-exterior angle (क्रमागत बाहिरी कोण)
समानान्तर रेखाहरूको एकैपट्टि, र बाहिरी भागमा रहेका कोणहरू, जस्तै माथिल्लो रेखाको एउटा बाहिरी कोण र तल्लो रेखाको सोही पक्षको बाहिरी कोण क्रमागत बाहिरी कोण हुन्छन्।यि कोणहरू समानान्तर रेखाहरूको बाहिरपट्टी हुन्छन्।
Example: Identify angles
Based on the figure, complete the table given below.
two lines are intersected
two parallel lines are intersected by EF
Figure: Angles at intersecting/parallel lines
Now, measure the following angle.
a
b
c
d
e
f
g
h
w
x
y
z
Now, complete the following table
Angle
voa
corresponding
alternate
co-interior
co-exterior
linear-pair
a
b
c
d
e
f
g
h
w
x
y
z
Example: Alternate angle
Based on the figure given below, complete the table given below.
(a) two lines are intersected
(b) two lines are intersected
Figure: Angles at intersecting lines
Figure No.
\(\measuredangle APF\)
\(\measuredangle DQE\)
Remarks
(a)
(b)
Conclusion:
Example: Find the value of unknown angles
Solution
We know that, angle in linear pair is \(180^\circ\), therefore we write
\(x+2x=180\)
or \(3x=180\)
or \(x=\frac{180}{3}=60\)
Hence, the value of \(x=60^\circ\)
This completes the solution.
Example: Find the value of unknown angles
Solution
We know that, vertically opposite angles are equal, therefore we write
\(2x-70=x\)
or \(2x-x=70\)
or \(x=70\)
Hence, the value of \(x=70^\circ\)
This completes the solution.
Exercise
Find the value of unknown angles
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Exercise Solutions
Solutions would be displayed here...
Example: Study the figure, and answer the following question
what type of angle \(x\) and \(y\)
what is the sum of \(x\) and \(y\)
if \(x=\frac{1}{3}y\), show that \(y=135\)
Answers:
Angle x and y form a linear pair.
The sum of x and y is 180°.
If x = 1/3 y, then 1/3 y + y = 180, so 4/3 y = 180, thus y = 135°.
Example: In the figure, \(\measuredangle XOY=2 \measuredangle YOZ\) and \(\measuredangle WOX=3 \measuredangle YOZ\)
show that \(\measuredangle WOX=90\)
what is size of \(\measuredangle XOY\)
what is size of \(\measuredangle YOZ\)
Answers:
Let ∠YOZ = a, then ∠XOY = 2a and ∠WOX = 3a. Since WOZ is a straight line, 3a + 2a + a = 180°, so 6a = 180°, a = 30°. Thus ∠WOX = 3 × 30° = 90°.
∠XOY = 2 × 30° = 60°
∠YOZ = 30°
Example: Study the figure, and answer the following question
what is relation between \(\measuredangle x\) and \(\measuredangle c\)
show that \(\measuredangle x= \measuredangle a+ \measuredangle c\)
if \(\measuredangle a+\measuredangle b=125\) find \(\measuredangle c\)
Answers:
∠x and ∠c are supplementary angles (they form a linear pair).
In triangle, exterior angle equals sum of opposite interior angles, so ∠x = ∠a + ∠b. But since ∠b and ∠c are vertical angles, ∠b = ∠c, thus ∠x = ∠a + ∠c.
If ∠a + ∠b = 125°, and ∠b = ∠c, then ∠a + ∠c = 125°. Since ∠x + ∠c = 180°, and ∠x = ∠a + ∠c = 125°, then ∠c = 180° - 125° = 55°.
Example: In the figure, \(\measuredangle a=\measuredangle b\)
what is the sum of \(\measuredangle a\) and \(\measuredangle x\)
what is the sum of \(\measuredangle b\) and \(\measuredangle y\)
show that \(\measuredangle x=\measuredangle y\)
Answers:
∠a and ∠x form a linear pair, so their sum is 180°.
∠b and ∠y form a linear pair, so their sum is 180°.
Since ∠a = ∠b and both pairs sum to 180°, then ∠x = 180° - ∠a and ∠y = 180° - ∠b. Since ∠a = ∠b, then ∠x = ∠y.
Example: In the figure, \(\measuredangle m=\measuredangle n\)
show that \(\measuredangle p=\measuredangle q\)
angle \(p\) exceeds three times its supplement by \(10^0\), find it
Answers:
Since lines are parallel, ∠m and ∠n are corresponding angles. ∠p and ∠m are supplementary, as are ∠q and ∠n. Since ∠m = ∠n, then their supplements ∠p and ∠q must also be equal.
Let ∠p = x. Its supplement is 180° - x. According to the problem: x = 3(180° - x) + 10°. Solving: x = 540° - 3x + 10°, 4x = 550°, x = 137.5°.
No comments:
Post a Comment