Trigonometry_Questions

By
🧠❓
Interactive Chapter Content

Measurement of Angles

Group 'A' in BLE (1 Mark Each)

  1. समकोण त्रिभुजको सबैभन्दा लामो भुजा कुन हो ? What is the longest side of a right-angled triangle? Ans: (Hypotenuse)
  2. समकोण त्रिभुजका भुजाहरूको सम्बन्ध लेख्नुहोस्। Write the relation of the sides of a right-angled triangle? Ans: \((\text{Perpendicular})^2 + (\text{Base})^2 = (\text{Hypotenuse})^2\)
  3. कोणलाई डिग्री एकाइमा नाप्ने पद्धतिको भिन्नता के छ ? What is called the measurement system of angles in degree? Ans: (Sexagesimal system)
  4. कोणलाई ग्रेड एकाइमा नाप्ने पद्धतिको भिन्नता के छ ? What is called the measurement system of angles in grade? Ans: (\text{Centesimal system})
  5. \(90^\circ\) लाई ग्रेडमा बदल्नुहोस्। Convert \(90^\circ\) into grade. Ans: \(100^g\)
  6. \(63^\circ\) लाई ग्रेडमा बदल्नुहोस्। Convert \(63^\circ\) into grade. Ans: \(70^g\)
  7. \(42.6^\circ\) लाई ग्रेडमा बदल्नुहोस्। Convert \(42.6^\circ\) into grade. Ans: \(47.333^g\)
  8. \(45^\circ\) लाई रेडियनमा बदल्नुहोस्। Convert \(45^\circ\) into radian. Ans: \(\frac{\pi}{4}\)
  9. \(\frac{3\pi}{5}\) लाई डिग्रीमा बदल्नुहोस्। Convert \(\frac{3\pi}{5}\) into degree. Ans: \(108^\circ\)
  10. \(80^g\) लाई रेडियनमा बदल्नुहोस्। Convert \(80^g\) into radian. Ans: \(\frac{2\pi}{5}\)
  11. \(\frac{4\pi}{5}\) लाई ग्रेडमा बदल्नुहोस्। Convert \(\frac{4\pi}{5}\) into grade. Ans: \(160^g\)
  12. \(n\) ओटा भुजा भएको समबहुभुजको भित्री कोण डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। Find the interior angle of a regular polygon of side \(n\) in degree. Ans: \(\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\)

Group 'B' in BLE (2 Marks Each)

  1. \(55^\circ 44' 40''\) लाई शंताशक सेकन्डमा बदल्नुहोस्। Convert \(55^\circ 44' 40''\) into centesimal second. Ans: \((55444.4^s)\)
  2. \(27.5^g\) लाई ग्रेडमा बदल्नुहोस्। Convert \(27.5^g\) into grade. Ans: \((30.556^g)\)
  3. \(10^\circ 30' 15''\) लाई डिग्रीमा बदल्नुहोस्। Reduce \(10^\circ 30' 15''\) into degree. Ans: \((10.5042^\circ)\)
  4. \(25^g 62' 50''\) लाई ग्रेडमा बदल्नुहोस्। Reduce \(25^g 62' 50''\) into grade. Ans: \((25.6250^g)\)
  5. \(12^\circ 22' 24''\) लाई षट्शांशक सेकेन्डमा बदल्नुहोस्। Convert \(12^\circ 22' 24''\) into sexagesimal second. Ans: \((44544)\)
  6. \(36^\circ\) र \(24^\circ\) को अनुपात निकाल्नुहोस्। Find the ratio of \(36^\circ\) and \(24^\circ\). Ans: \((3:2)\)
  7. दिएको सम्बन्धलाई ग्रेडमा रूपान्तरण गर्नुहोस्। Convert the following into second: \(16^g 24' 36''\). Ans: \((59076)\)
  8. \(61.9444444^g\) लाई डिग्री, मिनेट र सेकेन्डमा रूपान्तर गर्नुहोस्। Express \(61.9444444^g\) into grade, minute and second. Ans: \((55^\circ 45' 0'' \text{ or } 42^g 75' 0'')\)
  9. \(38.475^\circ\) लाई ग्रेड, मिनेट र सेकेन्डमा रूपान्तर गर्नुहोस्। (Express \(38.475^\circ\) into grade, minute and second.) Ans: \((42^g 75' 0'')\)
  10. ग्रेडमा बदल्नुहोस् (Convert into grade): \(63^\circ 45'\) Ans: \((70^g 83' 33'' \text{ or } 70.8333^g)\)
  11. षट्शांशक पद्धतिमा बदल्नुहोस् (Convert into sexagesimal system): \(90910^s\) Ans: \((27^\circ 62' 50'' \text{ or } 25^\circ 15' 10'' \text{ or } 25^g 15' 10'')\)
  12. शंताशक पद्धतिमा बदल्नुहोस् (Reduce into centesimal system): \(12.1525^\circ\) Ans: \((13^g 50' 0'' \text{ or } 13.5^g)\)
  13. \(27^g 62' 50''\) लाई षट्शांशक पद्धतिमा रूपान्तरण गर्नुहोस्। (Convert \(27^g 62' 50''\) into sexagesimal system.) Ans: \((24^\circ 51' 45'' \text{ or } 24.8625^\circ)\)
  14. \(24^\circ 51' 45''\) लाई शंताशक पद्धतिमा रूपान्तरण गर्नुहोस्। (Convert \(24^\circ 51' 45''\) into centesimal system.) Ans: \((27^g 62' 50'' \text{ or } 27.625^g)\)
  15. \(60^\circ 15' 30''\) लाई डिग्री र ग्रेडमा बदल्नुहोस्। (Express \(60^\circ 15' 30''\) into degree and grade.) Ans: \((60.2583^\circ, 66.9537^g)\)
  16. \(27^g 62' 50''\) लाई ग्रेड र डिग्रीमा बदल्नुहोस्। (Convert \(27^g 62' 50''\) into grade and degree.) Ans: \((27.6250^g, 24.8625^\circ)\)
  17. दिइएको सम्बन्धलाई ग्रेड र डिग्रीमा बदल्नुहोस्। (Express the following relation into grade and degree): \(56^g 87' 50''\) Ans: \((56.875^g, 51.1875^\circ)\)
  18. तलको सम्बन्धलाई डिग्री र ग्रेडमा बदल्नुहोस्। (Express the following relation into degree and grade): \(44^\circ 16' 5''\) Ans: \((44.27^\circ, 49.1839^g)\)
  19. \(16^\circ\) र \(20^g\) लाई रेडियन नापमा व्यक्त गरी अनुपात पत्ता लगाउनुहोस्। (Express \(16^\circ\) and \(20^g\) in radian and also find the ratio.) Ans: \(\frac{4\pi^c}{45} : \frac{\pi^c}{10} \text{ or } 8:9\)
  20. \(\frac{\pi^c}{12}\) र \(18^\circ\) लाई ग्रेडमा व्यक्त गरी अनुपात पत्ता लगाउनुहोस्। (Express \(\frac{\pi^c}{12}\) and \(18^\circ\) in grade, and find the ratio.) Ans: \(\frac{50^g}{3} : 20^g \text{ or } 5:6\)

Group 'C' in BLE (4 Marks Each)

  1. समकोण त्रिभुजको एउटा कोण \(30^\circ\) भए, अर्को कोण डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If one angle of a right-angled triangle is \(30^\circ\), find the other angle in degree.) Ans: \((60^\circ)\)
  2. दुई त्रिभुजका कोणहरू \(40^g\) र \(100^\circ\) भए, बाँकी कोण डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If two angles of a triangle are \(40^g\) and \(100^\circ\), find the remaining angles in degree.) Ans: \((54^\circ)\)
  3. यदि समकोणी त्रिभुजको एक कोण \(60^\circ\) भए, सबै कोणहरूलाई ग्रेडमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If one angle of a right-angled triangle is \(60^\circ\), find all the angles in grade.) Ans: \(\left(100^g, \frac{200^g}{3}, \frac{100^g}{3}\right)\)
  4. यदि समकोणी त्रिभुजको एक कोण \(30^g\) भए, सबै कोणहरूलाई डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If one angle of a right-angled triangle is \(30^g\), find all the angles in degree.) Ans: \((90^\circ, 63^\circ, 27^\circ)\)
  5. समकोणी त्रिभुजको एउटा कोण \(\left(\frac{\pi}{18}\right)\) भए, अर्को कोण डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If one angle of a right-angled triangle is \(\left(\frac{\pi}{18}\right)\) radian, find the another angle in degree.) Ans: \((80^\circ)\)
  6. यदि त्रिभुजका दुई कोणहरू \(63^\circ\) र \(72^\circ\) भए, सबै कोणहरू रेडियनमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If two angles of a triangle are \(63^\circ\) and \(72^\circ\), find all the angles in radian.) Ans: \(\left(\frac{7\pi}{20}, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{4}\right)\)
  7. दुई त्रिभुजका कोणहरू \(2:7\) को अनुपातमा छन् र तेस्रो कोण \(80^\circ\) भए, सबै कोणहरू डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (Two angles of a triangle are in the ratio \(2:7\) and the third angle is \(80^\circ\), find all the angles in degree.) Ans: \((24^\circ, 84^\circ, 72^\circ)\)
  8. त्रिभुजको एउटा कोण \(27^\circ\) र बाँकी कोणहरू \(8:9\) को अनुपातमा भए, सबै कोणहरू ग्रेडमा पत्ता लगाउनुहोस्। (One angle of a triangle is \(27^\circ\) and the remaining angles are in the ratio \(8:9\), find all the angles in grade.) Ans: \((30^g, 80^g, 90^g)\)
  9. एउटा त्रिभुजका दुई कोणहरू \(1:2\) को अनुपातमा छन् र तेस्रो कोण \(60^\circ\) भए, सबै कोणहरू रेडियन नापमा पत्ता लगाउनुहोस्। (Two angles of a triangle are in the ratio \(1:2\) and the third angle is \(60^\circ\), find the angles in radian.) Ans: \(\left(\frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{3}\right)\)
  10. यदि त्रिभुजका दुई कोणहरू \(50^\circ\) र \(80^\circ\) भए, तेस्रो कोण रेडियनमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If two angles of a triangle are \(50^\circ\) and \(80^\circ\), find the third angle in radian.) Ans: \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
  11. यदि त्रिभुजका दुई कोणहरू \(\left(\frac{4\pi}{9}\right)^\circ\) र \(40^\circ\) भए, तेस्रो कोण रेडियनमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If two angles of a triangle are \(\left(\frac{4\pi}{9}\right)^\circ\) and \(40^\circ\), find the third angle in radian.) Ans: \(\left(\frac{29\pi}{90}\right)\)
  12. कुनै त्रिभुजको एक कोण एक समकोणको \(\frac{2}{3}\) भाग छ। बाँकी दुई कोणहरू एकअर्कासँग \(18^\circ\) ले बढी छन् भने सबै कोणहरू डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (One angle of a triangle is \(\frac{2}{3}\) of a right-angle. If the greater of the other two exceeds the smaller by \(18^\circ\), find all the angles in degree.) Ans: \((60^\circ, 51^\circ, 69^\circ)\)
  13. एउटा त्रिभुजका तीन कोणहरू \(1:2:3\) को अनुपातमा छन्। प्रत्येक कोणहरू डिग्रीमा पत्ता लगाउनुहोस्। (The three angles of a triangle are in the ratio \(1:2:3\), find the angles in degree.) Ans: \((30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)\)
  14. यदि त्रिभुजका तीन कोणहरू \(2:3:5\) को अनुपातमा छन् भने प्रत्येक कोणको ग्रेडमा पत्ता लगाउनुहोस्। (If three angles of a triangle are in the ratio \(2:3:5\), find each of the angles in grade.) Ans: \((40^g, 60^g, 100^g)\)

Right Angled Triangle and Trigonometric Ratios

Group 'B' in BLE (2 Marks Each)

  1. पाइथागोरस साध्य प्रयोग गरी \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) प्रमाणित गर्नुहोस्। (Prove by Pythagoras theorem that: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\))
  2. पाइथागोरस साध्य प्रयोग गरी \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) प्रमाणित गर्नुहोस्। (Prove \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) by using Pythagoras theorem.)
  3. दिएको समकोणी त्रिभुजबाट \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) र \(\tan\theta\) को मान पत्ता लगाउनुहोस्। (Find the values of \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) and \(\tan\theta\) from the given right-angled triangle.) Ans: \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{3}{4}\right)\)
  4. यदि \(\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) भए, \(\text{cosec}\theta\) को मान निकाल्नुहोस्। (If \(\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\), find the value of \(\text{cosec}\theta\).) Ans: \((\sqrt{2})\)
  5. यदि \(\cos\theta = \frac{3}{5}\) भए, \(\sin\theta\) को मान निकाल्नुहोस्। (If \(\cos\theta = \frac{3}{5}\), find the value of \(\sin\theta\).) Ans: \(\left(\frac{4}{5}\right)\)
  6. यदि \(\sec\theta = \frac{13}{5}\) भए, \(\tan\theta\) को मान निकाल्नुहोस्। (If \(\sec\theta = \frac{13}{5}\), find the value of \(\tan\theta\).) Ans: \(\left(\frac{12}{5}\right)\)
  7. सरल गर्नुहोस् (Simplify): \((1 - \sin A)(1 + \sin A) \sec^2 A\) Ans: \((1)\)
  8. गुणनखण्ड गर्नुहोस् (Factorize): \(\cos^4 A - \cos^2 A - 8\) Ans: \((\cos^2 A - 4)(\cos^2 A + 2)\)
  9. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\frac{\sec\theta \cdot \cos\theta}{\text{cosec}\theta} = \sin\theta\)
  10. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \((\sin X + \cos X)^2 = 1 + 2\sin X \cos X\)
  11. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\sqrt{1 - \cos^2\theta} \cdot \sec\theta = \tan\theta\)
  12. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\sin^2\beta + \sin^2\beta \cdot \cot^2\beta = 1\)
  13. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\frac{1}{\tan\theta + \cot\theta} = \sin\theta \cdot \cos\theta\)
  14. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cdot \cot^2\alpha = 2\cos^2\alpha\)

Group 'C' in BLE (4 Marks Each)

  1. यदि \(\text{cosec} \theta = \frac{b}{a}\) भए, सिद्ध गर्नुहोस्। (If \(\text{cosec} \theta = \frac{b}{a}\), prove that): \(\sqrt{b^2 - a^2} = a \cot \theta\)
  2. समकोणी त्रिभुज ABC मा \(\angle B = 90^\circ\), \(\sin A = \frac{3}{5}\) भए, \(\cos A\) र \(\tan A\) पत्ता लगाउनुहोस्। (In a right-angled triangle ABC, if \(\angle B = 90^\circ\) and \(\sin A = \frac{3}{5}\), find \(\cos A\) and \(\tan A\).) Ans: \(\cos A = \frac{4}{5}, \tan A = \frac{3}{4}\)
  3. दिएको चित्रअनुसार \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) र \(\tan\theta\) को मान पत्ता लगाउनुहोस्। (Find the values of \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) and \(\tan\theta\) from the given figure.) Ans: \(\left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}, \frac{5}{12}\right)\)
  4. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\frac{\sin^2 A}{\sin A - \cos A} + \frac{\cos^2 A}{\sin A - \cos A} = \sin A + \cos A\)
  5. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \((\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 2\)
  6. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} + \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = 2 \text{cosec } \theta\)
  7. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A} = \frac{\cos A}{1 - \sin A} + 2 \sec A\)
  8. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \((a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = a^2 + b^2\)
  9. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\sqrt{\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}} = \text{cosec } A + \cot A\)
  10. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} = \sec \theta - \tan \theta\)
  11. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\text{cosec}^2 \theta + \text{cosec}^2 \theta \cdot \cot^2 \theta = \cot^2 \theta + \cot^4 \theta\)
  12. यदि \(\sin A - \cos A = 0\) भए, \(\sin A\), \(\cos A\) र \(\tan A\) को मान निकाल्नुहोस्। (If \(\sin A - \cos A = 0\), find the values of \(\sin A\), \(\cos A\) and \(\tan A\).) Ans: \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)\)
  13. यदि \(b \cot \theta = a\) भए, \(\frac{a \cos \theta - b \sin \theta}{a \cos \theta + b \sin \theta}\) को मान निकाल्नुहोस्। (If \(b \cot \theta = a\), find the value of \(\frac{a \cos \theta - b \sin \theta}{a \cos \theta + b \sin \theta}\).) Ans: \(\left(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}\right)\)
  14. यदि \(3 \cot \theta = 4\) भए, \(\frac{3 \cos \theta + 2 \sin \theta}{3 \cos \theta - 2 \sin \theta}\) को मान निकाल्नुहोस्। (If \(3 \cot \theta = 4\), find the value of \(\frac{3 \cos \theta + 2 \sin \theta}{3 \cos \theta - 2 \sin \theta}\).) Ans: \((3)\)

Standard Angles and Complementary Angles

Group 'B' in BLE (2 Marks Each)

  1. मान निकाल्नुहोस्। (Find the value of): \(\sin^2 90^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 45^\circ + \sin 30^\circ\) Ans: \(\left(\frac{3}{2}\right)\)
  2. मान निकाल्नुहोस्। (Find the value of): \(\sin^2 45^\circ + \cos^2 30^\circ - \tan^2 45^\circ\) Ans: \(\left(\frac{1}{4}\right)\)
  3. मान निकाल्नुहोस्। (Find the value of): \(\sin \frac{\pi^c}{6} + \cos \frac{\pi^c}{3} + \tan \frac{\pi^c}{4}\) Ans: \((2)\)
  4. यदि \(A = 60^\circ\), \(B = 30^\circ\) भए मान निकाल्नुहोस्। (If \(A = 60^\circ\), \(B = 30^\circ\), find the value of): \(\cos A \sin B + \sin A \cos B\) Ans: \((1)\)
  5. यदि \(A = 60^\circ\), \(B = 45^\circ\) र \(C = 30^\circ\) भए प्रमाणित गर्नुहोस्: \(4 \cos A + 2\sqrt{2} \cos B + 2\sqrt{3} \cos C = 7\)
  6. यदि \(A = 60^\circ\), \(B = 45^\circ\) र \(C = 90^\circ\) भए, \(\tan^2 A + 2 \sin^2 B + \sin^2 C\) को मान निकाल्नुहोस्। Ans: \((5)\)
  7. यदि \(A = 60^\circ\) र \(B = 30^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\cos(A+B) \cdot \cos(A-B) = 0\)
  8. यदि \(A = 60^\circ\) र \(B = 30^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
  9. यदि \(A = 60^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
  10. यदि \(A = 30^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1\)
  11. \(x\) को मान निकाल्नुहोस्: \(\sin 3x = \cos 2x\) Ans: \((18^\circ)\)
  12. यदि \(\sin 6x = \cos 3x\) भए, \(x\) को मान पत्ता लगाउनुहोस्। Ans: \((10^\circ)\)
  13. प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\frac{\sin A \cdot \sin(90^\circ - A) \cdot \tan(90^\circ - A)}{\cos(90^\circ - A) \cdot \cot A} = \cos A\)
  14. प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\cos(90^\circ - A) \cdot \text{cosec}(90^\circ - A) = \tan A\)
  15. प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\cos 25^\circ + \sin 55^\circ = \sin 65^\circ + \cos 35^\circ\)
  16. यदि \(\tan A = 45^\circ\) भए प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)

Group 'C' in BLE (4 Marks Each)

  1. \(30^\circ\) का सबै त्रिकोणमितीय अनुपातहरू ज्यामितीय विधिबाट पत्ता लगाउनुहोस्। (Find all the trigonometric ratios of \(30^\circ\) geometrically.)
  2. \(45^\circ\) का सबै त्रिकोणमितीय अनुपातहरू ज्यामितीय विधिबाट पत्ता लगाउनुहोस्। (Find all the trigonometric ratios of \(45^\circ\) geometrically.)
  3. \(60^\circ\) का सबै त्रिकोणमितीय अनुपातहरू ज्यामितीय विधिबाट पत्ता लगाउनुहोस्। (Find all the trigonometric ratios of \(60^\circ\) geometrically.)
  4. यदि \(A = 30^\circ\) र \(B = 60^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
  5. यदि \(A = 30^\circ\) र \(B = 60^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
  6. यदि \(A = 60^\circ\), \(B = 45^\circ\) र \(C = 30^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\tan^2 A + 4 \cos^2 B + 3 \sec^2 C = 9\)
  7. यदि \(\theta = 30^\circ\) र \(\alpha = 60^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: \(\tan(\alpha - \theta) = \frac{\tan \alpha - \tan \theta}{1 + \tan \alpha \tan \theta}\)
  8. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\sqrt{33 + \sqrt{7 + \sqrt{8 \sin 30^\circ}}} = 6\)
  9. यदि \(A = 30^\circ\) भए, प्रमाणित गर्नुहोस्: (If \(A = 30^\circ\), prove that): \(\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A\)
  10. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\sec \theta \cdot \text{cosec}(90^\circ - \theta) - \tan A (\cot 90^\circ - \theta) = 1\)
  11. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\text{cosec}(90^\circ - \theta) \cdot \sec \theta - \cot(90^\circ - \theta) \cdot \tan \theta = 1\)
  12. प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\frac{\sin(90^\circ - \theta) \cdot \sec(90^\circ - \theta) \cdot \text{cosec}(90^\circ - \theta)}{\cot(90^\circ - \theta) \cdot \tan(90^\circ - \theta) \cdot \cos(90^\circ - \theta)} = \text{cosec}^2\theta\)

Solution of Right Angled Triangle, Height and Distance

Group 'C' in BLE (4 Marks Each)

  1. \(\triangle PQR\) को हल गर्नुहोस्। जब कि \(\angle R = 90^\circ\), \(PQ = 4\sqrt{3} \text{ cm}\) र \(QR = 2\sqrt{3} \text{ cm}\) छन्। (Solve the \(\triangle PQR\) where \(\angle R = 90^\circ\), \(PQ = 4\sqrt{3} \text{ cm}\) and \(QR = 2\sqrt{3} \text{ cm}\).) Ans: \(\angle Q = 60^\circ, \angle R = 30^\circ, RP = 6 \text{ cm}\)

    Step 1: Use Pythagoras Theorem
    \[ PQ^2 = QR^2 + RP^2 \] \[ (4\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 + RP^2 \] \[ 48 = 12 + RP^2 \Rightarrow RP^2 = 36 \Rightarrow RP = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \]
    Step 2: Find angle \(\angle Q\)
    \[ \cos(\angle Q) = \frac{QR}{PQ} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle Q = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \]
    Step 3: Find angle \(\angle P\)
    \[ \angle P = 180^\circ - \angle Q - \angle R = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ \]
    Final Answer:
    \[ \angle Q = 60^\circ,\quad \angle P = 30^\circ,\quad RP = 6 \text{ cm} \]
  2. एउटा समकोणी त्रिभुज ABC मा \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\) र \(b = 4\sqrt{3} \text{ cm}\) भए, \(\triangle ABC\) को हल गर्नुहोस्। (In a right-angled triangle ABC, \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\) and \(b = 4\sqrt{3} \text{ cm}\), solve the \(\triangle ABC\).) Ans: \(\angle C = 60^\circ, a = 2\sqrt{3} \text{ cm}, c = 6 \text{ cm}\)
  3. समकोणी \(\triangle ABC\) मा \(\angle B = 90^\circ\), \(a = \sqrt{3} \text{ cm}\) र \(c = 1 \text{ cm}\) भए, \(\triangle ABC\) को हल गर्नुहोस्। (In a right-angled \(\triangle ABC\), \(\angle B = 90^\circ\), \(a = \sqrt{3} \text{ cm}\) and \(c = 1 \text{ cm}\), solve the \(\triangle ABC\).) Ans: \(b = 2 \text{ cm}, \angle C = 30^\circ, \angle A = 60^\circ\)
  4. \(\triangle MNO\) को हल गर्नुहोस्। जब कि \(\angle M = 90^\circ\), \(\angle N = 30^\circ\) र \(MN = 2 \text{ cm}\) छन्। (Solve the \(\triangle MNO\) where \(\angle M = 90^\circ\), \(\angle N = 30^\circ\) and \(MN = 2 \text{ cm}\).) Ans: \(\angle O = 60^\circ, OM = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ cm}, NO = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}\)
  5. एउटा \(1.75 \text{ m}\) अग्लो मानिसले एउटा \(51.75 \text{ m}\) उचाई भएको धरहरालाई \(50 \text{ m}\) दुरीबाट अवलोकन गर्दा उन्नतांश कोण कति हुन्छ पत्ता लगाउनुहोस्। (A \(1.75 \text{ m}\) tall man observes the top of a tower \(51.75 \text{ m}\) high from \(50 \text{ m}\) away from the tower. Find the angle of elevation.) Ans: \((45^\circ)\)
  6. एउटी केटीले \(51.5 \text{ m}\) अग्लो धरहरालाई \(50 \text{ m}\) दुरीबाट अवलोकन गर्दा उन्नतांश कोण \(45^\circ\) हुन्छ भने ती केटीको उचाई पत्ता लगाउनुहोस्। (A girl observes the angle of elevation of the top of a tower which is \(51.5 \text{ m}\) high and it is found to be \(45^\circ\). If the distance between the tower and the girl is \(50 \text{ m}\), find the height of the girl.) Ans: \((1.5 \text{ m})\)
  7. एउटा \(20\sqrt{3} \text{ m}\) अग्लो स्तम्भको टुप्पोमा जमिनको कुनै बिन्दुबाट हेर्दा बनेको उन्नतांश कोण \(60^\circ\) पाइएको भने स्तम्भको फेदबाट उक्त बिन्दुसम्मको दुरी पत्ता लगाउनुहोस्। (The angle of elevation of the top of the tower of \(20\sqrt{3} \text{ m}\) high as observed from a point on the ground is \(60^\circ\); find the distance between the foot of tower and the point on the ground.) Ans: \((20 \text{ m})\)
  8. एउटा रूख \(15 \text{ m}\) अग्लो छ। जमिनको सतहको कुनै बिन्दुबाट उक्त रूखको टुप्पोमा हेर्दा बनेको उन्नतांश कोण \(45^\circ\) छ भने रूखको फेदबाट उक्त बिन्दुसम्मको दुरी पत्ता लगाउनुहोस्। (The height of a tree is \(15 \text{ m}\). The angle of elevation of the top of the tree as observed from a point on the ground level is \(45^\circ\). Find the distance of the point from the foot of the tree.) Ans: \((15 \text{ m})\)
  9. एउटा सिधा स्तम्भको उचाइ \(12 \text{ ft}\) र यसको छायाँको लम्बाइ \(12\sqrt{3} \text{ ft}\) भए, सूर्यको उचाई पत्ता लगाउनुहोस्। (A vertical pole is \(12 \text{ ft}\) high and the length of its shadow is \(12\sqrt{3} \text{ ft}\); find the altitude of the sun.) Ans: \((30^\circ)\)
  10. एउटा स्तम्भको फेदबाट \(50 \text{ m}\) परको दुरीबाट उक्त स्तम्भको टुप्पोमा हेर्दा बनेको उन्नतांश कोण \(45^\circ\) भए, स्तम्भको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस्। (The angle of elevation of the top of the tower at a distance of \(50 \text{ meters}\) from the tower is found to be \(45^\circ\). Find the height of the tower.) Ans: \((50 \text{ m})\)
  11. एउटा नदीको किनारमा रहेको एउटा \(15 \text{ m}\) अग्लो रूखको टुप्पोमा अर्को किनारबाट हेर्दा बनेको उन्नतांश कोण \(30^\circ\) पाइएको भने नदीको चौडाइ पत्ता लगाउनुहोस्। (A tree on the bank of a river is \(15 \text{ m}\) high and the angle of elevation of the top of the tree from the opposite bank is \(30^\circ\); find the breadth of the river.) Ans: \((15\sqrt{3} \text{ m})\)
  12. एउटा \(100 \text{ m}\) अग्लो पहाडको टुप्पोबाट जमिनमा रहेको कारलाई हेर्दा अवनति कोण \(30^\circ\) को पाइएको भने पहाडको फेदबाट कारसम्मको दुरी पत्ता लगाउनुहोस्। (From the top of a cliff \(100 \text{ m}\) high, the angle of depression of a car on the ground is found to be \(30^\circ\). Find the distance of the car from the foot of the cliff.) Ans: \((173.20 \text{ m})\)
  13. एउटा \(30 \text{ ft}\) अग्लो रुख हुरीले भाँचिएर यसको टुप्पोले जमिन छुँदा अधिनतांश \(30^\circ\) को कोण बनाउँछ भने रुखको भाँचिएको भागको लम्बाइ पत्ता लगाउनुहोस्। (A tree of \(30 \text{ ft}\) height is broken by the wind so that its top touches the ground and makes an angle of \(30^\circ\) to the ground. Find the length of the remaining part of the tree after being broken.) Ans: \((10 \text{ ft})\)
  14. सूर्यको उचाई \(60^\circ\) भएको बेला \(50\sqrt{3} \text{ ft}\) अग्लो स्तम्भको छायाँको लम्बाइ पत्ता लगाउनुहोस्। (Find the length of the shadow of the pole of height \(50\sqrt{3} \text{ ft}\) when the sun's altitude is \(60^\circ\).) Ans: \((50 \text{ ft})\)

No comments:

Post a Comment